¡Puf! Hay un montón de lugares preciosos para alguien como tú, bien equipado y en excelente forma física.
Aparte de lo que free1976 pueda recomendarte, que ella sí que sabe, yo puedo citar unos cuantos lugares que he visitado y que me dejaron buen recuerdo. De este a oeste:
El puerto de Las Estacas de Trueba.
Las Merindades (Ojo de Guareña).
El valle de Zamarzas y el serpenteante cañón que recorre el joven Ebro.
El embalse del Ebro.
El valle del Nansa.
El desfiladero de La Hermida.
El puerto de San Glorio.
El valle del Cares a lo largo de la sierra de Cuera.
El embalse de Riaño (circuito por Lois).
El puerto del Pontón (desfiladero de los Beyos).
El puerto de Tarna, desde el que se puede seguir luego el curso complero del Nalón hasta el Cantábrico,
o seguir la por el puerto de las Señales, rodear el Embalse del Porma hasta Boñar, atravesar la hoces de Valporquero (quizá subir hasta las cuevas), pasar por la collada de Cármenes a Villamanín y entrar al valle de Casares, rodear por el norte el embalse de Barros de Luna, la Babia...
El puerto de la Cubilla, cerca de Peña Ubiña, techo de la Cordillera (el macizo de Ubiña es espectacular).
El puerto de Ventana, Teverga (Senda del Oso incluyendo Quirós).
El alto de La Cobertoria, en el extremo sureste de la Sierra del Aramo, el alto de La Segá y bajada a Riosa. Cerca, Viapará y el mítico Angliru.
En Teverga, los puertos del Marabiu, el valle de Tameza, la Ruta La Escanda, a lo largo de la sierra de Pedrorio, el tramo final del Camín Real de La Mesa.
La sierras de Begega y del Courio, con explotaciones de oro.
El valle del Narcea, con sus embalses, que es bonito salvo por el tráfico molesto.
Entre Cornellana, Pravia y Salas, multitud de pequeñas sierras de poca altura recorridas por carreteritas solitarias.
Por Torrestío, trepar a la collada de la Farrapona y visitar los lagos de Somiedo, el valle de Saliencia, el lago de Valle (todo Somiedo es precioso).
El propio puerto de Somiedo, las brañas de La Peral y la Pornacal (desde Villar de Vildas o atreviéndose a la aventura de bajar directamente desde La Peral).
Ell alto de La Espina, Tineo y los cuatro valles vaqueiros, Allande, Navelgas, Salime...
La Ruta de los Siete Puertos, en la zona de Cangas del Narcea, Ibias, Degaña...
Al norte se puede seguir parcialmente el curso del Navia...
En fin ¡qué recomendar! Depende de muchas cosas. Tu pide y nosotros te contamos lo que quieras.
No te recomiendo Julio y Agosto: exceso de turistas, humedad, calor y aire turbio. Junio quizá pase. Coincido con Noe que septiembre es el mejor mes.
Los Picos de Europa y Covadonga y sus lagos, lo que es la parte frecuentada por turistas, está sobrevalorada. Yo paso de esas zonas (claro, como las tengo muy vistas...) El interior de los Picos es otra historia, claro. Pero tú vas en bici, así que... nada, pasa de ellos.